Discutindo equações: Velocidade de escape

No ensino médio sempre discutia com meu professor a respeito de como o ensino de física era sempre colocado matematicamente. Além das poucas aplicações, o uso da equação era sempre nas - que eu costumo chamar - "questões de matemática com enunciado bonito", sem uma discussão a cerca do que significava. Isso acabava limitando um pouco em como aquela equação mostrava no comportamento da natureza - digo, qualitativamente falando. De certa forma, isso é conveniente ao ensino das ciências da natureza mesmo, em que você está se formando não para entender a natureza, e sim para apertar botões; mas não vamos adentrar nessa discussão hoje. Queria começar esta série (que ainda não decidi um nome) para discutir as equações que vemos no ensino médio e superior, fazendo uma discussão tanto quantitativa como qualitativa. A sorte escolheu a vez da velocidade de escape.

$$v_e^2=2gz$$

Energia Potencial

    Precisamos antes dar uma pincelada em Energia Potencial na escala astronômica. Precisamos também, porém, já estarmos cientes das formulações sobre forças gravitacionais e os conceitos de energia cinética e potencial da mecânica clássica (poderemos abordar nesta série essas mesmas equações posteriormente). Estarei usando uma discussão apresentada no livro 1 de Física Básica do professor Moysés.

    Imaginemos que em um exercício do seu livro de física mostra um corpo de massa $m$ em queda livre verticalmente em direção à Terra, em uma distância muito maior que o raio do nosso planeta, e uma das alternativas pergunta "Qual a energia potencial". Nós lembramos logo da "fórmula" da energia potencial $U=mgz$, ou na maioria dos livros didáticos do médio $U=mgh$, onde $h$ é o ponto em que o corpo se encontra em relação à origem do referencial. Mas ao aplicar esta equação você percebe que existe uma discrepância com a resposta correta no final do livro. Por que?

    Para responder precisamos discorrer sobre "Força" e "Energia", bem como a escala que estamos observando. A princípio sabemos, de acordo com a 2ª Lei de Newton, que $F_{res}=ma$, onde se tratando da aceleração gravitacional a distâncias próximas à superfície do planeta, basta trocarmos $a$ por $g$ e termos a "força peso", erroneamente confundida pelos alunos como "Força gravitacional", em módulo. Força é uma grandeza vetorial, e, nesse caso, unidimensional, portanto:

$$ \vec F_{p} = m\vec g \space \hat z\ $$

No caso que estamos imaginando de um corpo em queda livre, e desconsiderando a resistência do ar, a força peso se torna a força resultante atuando sobre o corpo.

    A energia potencial é um tipo de energia que depende da posição daquele corpo no espaço e está associada a uma "força conservativa".  Mas como se dá essa associação? Para isso, precisamos retornar ao conceito de "Trabalho" ($ \tau $).

    Usemos o exemplo anterior que estamos imaginando. O trabalho realizado por aquele corpo é definido como a Força resultante $F$ realizada "vezes" ("interno", aos leitores já afincos em Cálculo) ao Deslocamento $d$. 

$$ \tau = F \cdot d $$ com $d$ sendo a diferença entre os pontos que a partícula se moveu.

    Podemos então, aplicar no evento imaginado e, com $F=mg$ e, obtemos:

$$ \tau = Fd = (mg) \cdot (z_1 - z_0) $$

onde $z_1$ e $z_0$ são respectivamente a distância final e a distância inicial em relação à origem do nosso referencial (subtende-se como a superfície). Você pode até considerar esse último termo $(z_1 - z_0)$ como sendo igual a uma variável, como $z$ ou até $h$, e a cara se parece com uma equação já conhecida: $ \tau = mgz$.

"Espera! Isso significa que o Trabalho realizado por essa partícula é igual a energia potencial?". Bom, não. Lembre que o $z$ no trabalho é a diferença entre dois pontos, enquanto $h$ na energia potencial é o ponto em que a partícula se encontra em relação à origem do referencial. Portando, o Trabalho realizado é, em módulo, igual á diferença das energias potenciais em cada ponto! Podemos analisar melhor comparando as duas equações:

$ \left \{ \begin{matrix} U=mg(h) &  \\ \tau = mg(z_1 - z_0) = mgz_1 - mgz_0 &  \end{matrix} \right. $

$$ \tau = U_1 - U_0 = \Delta U $$

lembrando mais uma vez que isso é em módulo. Como imaginamos a partícula se movendo "para baixo", e nosso sistema de referência aponta $z$ para cima como "positivo", em vetor temos que corrigir a equação para:

$$ \vec{\tau} = -\Delta U $$

daí, temos a relação de que a energia potencial está diretamente relacionada a força resultante em um corpo!

Energia potencial na superfície

    Tá, mas essa discussão toda foi por que motivo? Estávamos falando justamente que usando esses passos a resposta está errada. E o que Força e Potencial tem a ver com isso? Se o leitor estiver familiarizado com o conceito de "Campo" já deve saber a resposta. Podemos discutir aprofundadamente o conceito de campo e potencial em outra publicação, mas formalmente falando, um "Campo" na física é uma grandeza que atribui um potencial a cada ponto do espaço.

    Portando, perceba: um corpo acima de você tem potencial $mgh$, um outro corpo à mesma altura do anterior, mas a uma distância $x$, tem que potencial? Bom, o potencial depende de outra variável além da "altura" em relação à origem? Nesse caso, não! Logo, aquele último corpo também tem potencial $mgh$. Ou seja, quaisquer elementos que estejam a mesma altura da superfície, possuem o mesmo potencial. Cada "linha de altura" possui o mesmo potencial, e podemos chamar de linha equipotencial (ou superfície, considerando referencial tridimensional).

    Veja que, para cada linha equipotencial possui módulo $mgh$, com $mg$ sendo a Força resultante que atua no ponto $h$. Imaginemos agora uma sequência de linhas equipotenciais, cujas alturas serão $h_1$, $h_2$, $h_3$, e aí por diante. O potencial de cada uma depende apenas de $h$, certo? Afinal de contas, $m$ e $g$ não mudam; ou seja, para cada ponto do espaço, a força é a mesma e igual a $mg$. Em outras palavras, temos um Campo em que cada ponto do espaço a força agindo sobre ele é constante! A força sobre você a 1 metro da superfície é $mg$, a um pássaro voando a 500 metros da superfície é também $mg$! Por isso, chamamos também o campo como "constante".

    Isso acontece, simplesmente, pois estamos considerando a aceleração da gravidade como constante! Perceba que se $g$ mudasse a cada "ponto de altura" - formalmente, se $g$ fosse uma função de $z$: $g(z)$ - isso mudaria completamente nossas equações! As Forças Peso de alguém de massa $m$ em uma praia da Bahia, e alguém de mesma massa $m$ na sua casa no Chile seriam diferentes. Então, na realidade, elas são mesmo!

    Acontece que para as distâncias aqui na Terra $g(z)$ varia minúsculamente, cerca de $0,052 m/s^2$ de diferença entre o nível do mar no equador e os polos. Portanto, é comum didaticamente - e até praticamente dependendo do motivo - considerarmos $g$ como constante. Mas para escalas astronômicas, a história muda um pouco!

Energia potencial na escala astronômica

    Newton a princípio, em suas publicações afirmava que a força de atração entre dois corpos se dava seguindo a seguinte equação:

$$ F = G \frac{m_1m_2}{r^2} $$ com $G$ sendo uma "constante física" gravitacional igual a $G=6,67*10^-11\space Nm^2/kg^2$, $m_1$ e $m_2$ as massas dos corpos estudados e $r$ a distância entre os mesmos.

    Vale lembrar que Newton não tirou isso magicamente de sua cabeça. Havia discussões dentre diversos outros físicos, bem como experimentos e dados sobre os astros formulados e anotados por vários estudiosos.

    Perceba, que de acordo com a segunda lei, a Força que atua sobre um corpo de massa $m$, é a sua massa multiplicado pela sua aceleração. Comparando e isolando $m_1$:

$ \left \{ \begin{matrix} F= ma &  \\ F = m_1 \frac{Gm_2}{r^2} &  \end{matrix} \right. $

$$ a = G \frac{m_2}{r^2} = g $$ onde $r$ é uma função $r(x,y,z)$. 

    Considerando o exemplo que estamos estudando, uma movimentação unidimensional, onde os movimentos em $x$ e $y$ são nulos, $r$ vira uma função somente de $z$ [$r(z)$]. Logo, podemos representar a equação como: 

$$ g(z) = G \frac{m_2}{z^2} $$ onde $z$ é a distância em relação ao centro de massa do corpo $m_2$ e igual a $z=z_2-z_1$.

    Aí está representada nossa função $g(z)$ que estávamos falando anteriormente! A media que $z$ aumenta, ou seja, a medida que aumenta a altura (em relação a minha origem) $g$ diminui quadraticamente.  A aceleração da gravidade não é constante!

    Então, no caso, nosso potencial, lembremos que é relacionado com o trabalho realizado, pode-se obter:

$ \Delta U = - \tau $
$ \Delta U = - F(z_2-z_1) $
$\Delta U=-G\frac{m_1m_2}{(z_2-z_1)^2}(z_2-z_1)$
$\Delta U=-G\frac{m_1m_2}{(z_2-z_1)}$

$$\Delta U=-G\frac{m_1m_2}{z}$$

 Esse, no caso, seria a resposta para a pergunta solicitada no livro. Mas, e a velocidade de escape?

Velocidade de escape

Pois bem, conhecendo nosso potencial, podemos achar $g$ decomposto. Perceba, isolando $m_1$:

$-\Delta U=m_1 \cdot G\frac{m_2}{z}$ e
$g=G\frac{m_2}{z^2}$ portanto

$$-\Delta U=mgz $$ 

com $z=(z_2-z_1)$, então, a medida em que $z$ aumenta, a diferença de energia potencial diminui (perceba o sinal de menos), então, quando colocamos $z_2$ a um valor "muito grande" (aos já letrados em Cálculo já sabem o que eu quero dizer), essa energia potencial costuma-se chamar de "energia de dissociação". É a energia potencial necessária para que uma partícula "escape" ao potencial gravitacional do planeta!

    Tá, mas velocidade de escape ainda é uma velocidade, e quando se trata de energia, a primeira coisa que lembramos que envolve velocidade é a energia cinética $T$:

$$T = \frac{1}{2}mv_e^2$$

com $v_e$ sendo a velocidade de "escape", quando usamos àquele caso de levarmos $z_2$ a uma distância "muito grande".

    Antes de continuarmos vamos focar um pouco nessa informação. Quando $z_2$ é um valor muito grande, o que acontece com a diferença $z=(z_2-z_1)$? Perceba que se eu tenho um valor muito grande menos um valor pequeno, ainda é um valor muito grande. Se eu tenho $1000 - 1$ ainda é $999$! Agora imagine este valor como algo próximo do infinito!! Essa diferença se torna tão pífia que o número ainda é muito próximo de $z_2$. Por isso, nesse caso, podemos dizer que $z=z_2$. O mesmo raciocínio ocorre para a diferença $\Delta U=U_{(z_2)} - U_{(z_1)}$, então podemos simplesmente dizer:

$$-U=mgz$$

com $z=z_2$

 Então é fácil acharmos por meio da "conservação de energia":

$E = T + U = 0$
$T + U = 0$
$\frac{1}{2}mv_e^2 + (-mgz) = 0$
$\frac{1}{2}mv_e^2 = mgz$

$$v_e^2=2gz$$

Temos a nossa velocidade de escape! A velocidade limite necessária para que um corpo "escape" a atração gravitacional de outro! 

    Vamos ver o exemplo da Terra? Para isso, temos que achar $z$, ou seja, o raio da Terra, mas outros pesquisadores já fizeram isso por nós (usando até trigonometria que vemos no fundamental!). Considerando $g=9,8 \space m/s^2$ e $z=6,4*10^6 \space m$, temos:

$v_e=\sqrt{2*9,8*6,4*10^6}$
$$v_e=11200\space m/s = 11,2 \space km/s = 40320\space km/h$$

ou seja, para que um corpo precise sair da atração gravitacional terrestre, ele precisa ter uma velocidade de $11,2 km/s$!

    Essas equações que alguns consideram simples, tanto de deduzir como de aplicar, que foram responsáveis pela "explosão da física" durante a corrida espacial. E funcionaram muito bem. Hoje sabemos que existem correções à essa mecânica trazidas dentro do século XX, e mais correções ainda trazidas no século XXI, mas, a mecânica clássica à época, já os bastava para suas necessidades.

Discutindo a velocidade de escape

$$v_e^2=2gz$$

    Uma equação pequena, simples, de segundo grau, que carrega consigo um evento da natureza tão vasto. O quão rápido você precisa ir, para quebrar a corrente que atrai cada átomo seu ao planeta. Mas ela diz muito mais.

    Quando maior for o planeta, ou melhor, o raio do corpo, a velocidade de escape aumenta proporcionalmente (e ao quadrado), quanto maior a gravidade do corpo, a velocidade de escape do planeta também aumenta proporcionalmente (e ao quadrado!). Podemos levar isso ao limite! Existe um corpo celeste em que a velocidade de escape seja a própria velocidade da luz?

    Essa mesma pergunta foi feita Pierre-Simon de Laplace, no século XVIII. Ele afirmava que uma estrela de mesma densidade da Terra, mas com diâmetro 250 maior que nosso Sol, não permitiria a passagem de raios luminosos devido a sua atração. Podemos usar a equação da velocidade de escape para reforçar ou refutar a afirmação de Laplace, usando uma estrela de mesma densidade da Terra. Vamos calcular:

    Bom, $g$ podemos obter em função da massa, pois sabemos que ele é igual a $G\frac{m}{z^2}$, e também, usando conceito de densidade($\rho$), temos que:

$$\rho = \frac{m}{V}$$ podemos aproximar o volume para uma esfera de modo que $V=\frac{4}{3}\pi z^3$ (usaremos $z$ em vez de $r$ para não confundir o leitor que já acostumei a pensar o "raio" do corpo na variável $z$). Então chegamos no seguinte resultado para $m$:

$$m=\rho * \frac{4}{3}\pi z^3$$

e, podemos substituir tudo isso na equação da velocidade de escape, obtendo:

$v_e^2=2*G*\frac{m}{z^2}$
$v_e^2=\frac{2G\rho  4\pi z^3}{3z^2}$
$$v_e=\sqrt{\frac{8}{3}\rho G\pi z}$$

    Achamos a velocidade de escape em função da densidade de um corpo. Então, usando o exemplo de Laplace, qual teria que ser o tamanho deste corpo para que a velocidade da luz seja a velocidade de escape? A densidade média da Terra também foi achada (a muito tempo atrás) e é aproximadamente $\rho_{Terra} = 5,52*10^3 \space km/m^3$, e a velocidade da luz podemos aproximar para $c = v_e = 3*10^8 \space m/s$, então:

$$v_e^2=\frac{8}{3}\rho G\pi z$$

$(3*10^8)^2=\frac{8}{3}*5,52*10^3*6,67*10^{-11}*3,14*z$
$9*10^{16}=\frac{8}{3}*1,19*10^5*z$
$9*10^{16}=3,173*10^5*z$
$z=9*10^{16}/3,173*10^5$

$$ z=2,84*10^{11}\space m = 2,84*10^8 \space km$$

Parabéns, você acaba de calcular o raio crítico para que um corpo celeste de mesma densidade que a Terra não seja um buraco negro usando uma equação de grau 2! Ué? Não acredita em mim? Que corpo celeste possui uma força de atração gravitacional tão grande, mas tão grande, a ponto de que nem a luz consegue escapar? É exatamente isso que achamos! Um corpo cuja velocidade de escape (ou seja, a velocidade limite que deve atingir para sair da atração gravitacional) é justamente a velocidade da luz. Ou seja, qualquer corpo, de mesma densidade que a Terra, que seu raio seja acima de $2,84*10^8$ quilômetros, é um buraco negro. Se quiseres comparar, o raio da Terra é $6,37*10^3$ quilômetros, e o do Sol é $6,96*10^5$ quilômetros. Laplace disse que esse corpo teria diâmetro cerca de 250 vezes maior que o diâmetro do Sol, fazendo uma simples divisão achamos que na verdade, seria cerca de 400 vezes maior!

    Laplace antecipou a existência do que hoje conhecemos como buraco negro no século XVIII! Hoje sabemos que sua justificativa relativística estava um pouco errada, uma vez que a "gravidade" não é um evento interno à massa de corpos, e sim, uma distorção do espaço-tempo. Bem como sabemos que os buracos negros não possuem uma densidade igual a da Terra, mas sim que são superdensos. Mas isso sabemos com o olhar que temos hoje em dia. Laplace, sem nunca ter visto um buraco negro conseguiu antecipar a existência dos mesmos, usando mecânica clássica. Do mesmo jeito que você fez hoje!

    Existem várias outras aplicações que você pode obter neste sentido. Podemos achar a massa mínima de um corpo para que não se torne um buraco negro também. Perceba os diversos eventos da natureza que podemos ter ao analisar uma simples equação!

    Fica o desafio para você, leitor(a): Você é o(a) cargo chefe científico do programa de colonização de Marte. Há uma falta de recursos emergenciais necessários na colônia, bem como vários dados que precisam chegar aos analistas na Terra. Todos os cientistas auxiliares recomendam a vinda de recursos do planeta azul e você precisa tomar uma decisão. Há duas naves prontas, uma nave de reconhecimento, e uma outra de abastecimento. Tendo em vista a crise produtiva na colônia, propulsão contínua está fora de cogitação. Cientistas avaliaram que é possível fazer uma grande reação na base de lançamento, uma explosão controlada que dará um "empurrão" para cima com certa velocidade (um estilingue, só que legal). Calcularam, que devido a diferença de massa entre as naves, a primeira, atingiria velocidade máxima de 4,3 km/s e consumiria pouco reagente; já a segunda atingiria 6,7 km/s e consumiria bastante reagente. A má notícia é que o reagente usado para provocar a explosão, é o mesmo que abastece os processos químicos de produção de gás oxigênio, essencial para a vida na colônia. Você tem dois cenários à sua frente: o envio com sucesso da primeira, causaria uma sobra do reagente e a colônia sobreviveria tranquilamente até a volta da nave; mas se houver um acidente, não haveria como enviar uma segunda, perderia-se os dados e a colônia morreria lentamente por falta de recursos. O envio com sucesso da segunda consumiria uma grande quantidade do reagente, que a colônia precisaria entrar em um estado de emergência, com risco alto, até a nave voltar, a garantia é mínima mas existe; mas se houver um acidente, toda a colônia morreria rapidamente. O que você faria?