Se os pingos de chuva não tivessem resistência... - Discutindo Equações: Velocidade Terminal

Vamos fazer uma análise sobre queda livre bem rápida. É fácil conferir a velocidade final de um objeto em queda, sob ação de uma aceleração gravitacional, de acordo com a equação de Torricelli: 

$$ v^2 = v_0^2 + 2gh $$

 

com $v$ e $v_0$ sendo, respectivamente a velocidade final e a inicial do objeto em movimento; $g$ a aceleração da gravidade neste local e $h$ (ou $\Delta S$ se preferir) o espaço percorrido pelo objeto.

    Em síntese, a velocidade de um objeto em queda, depende unicamente do espaço que ele percorreu - considerando a aceleração da gravidade como constante, já falamos sobre esse problema aqui - e disso ainda podemos perceber que uma bola de 1kg de chumbo e uma bola de 500g de algodão "caem" a velocidades iguais, quando soltas a alturas iguais, e, ainda, percorrem o espaço em tempos iguais! (Poderemos ver uma discussão sobre movimento uniforme e movimento uniformemente variado em outro texto).

    Para fixarmos essa ideia em nossas mentes, nada melhor do que solucionar um problema. Me acompanham?

Nuvens altostratus são nuvens médias, podendo causar precipitações (chuvas) leves contínuas. Sua base é formada entre 2 a 8 km do solo, na região da linha do equador. Uma altostratus, com a base a 7 km do solo, produz uma precipitação contínua. Calcule a velocidade de uma gotícula de água, que sai da base da nuvem em repouso, ao atingir o chão.

    Bom, vamos lá! Esse problema parece fácil e simples de resolver, basta aplicar a velocidade de queda livre na gotícula, já que não depende da massa e nem do tempo que leva para chegar ao solo, informações que o problema não disponibiliza! Vamos no passo a passo:

Façamos as definições e conversões necessárias:

• $v_0 = 0$ pois a gota sai do repouso;
• $g = 9,8 \text{ m/s}^2$;
• $h = 7\text{ km} = 7*10^3\text{ m} = 7000\text{ m}$.

Continuando:

$v^2=v_0^2+2gh$

$v^2=0+2*9,8*7000$

$v^2=137200$

$v=\sqrt{137200}$

$$v \approx 370,4\text{ m/s}\text{ ou } v \approx 1333,4\text{ km/h}$$

Achamos! A gota chegará ao solo com uma velocidade de mil trezentos e ... trinta e ... quilômetros por... hora? Isso está... certo?

    Bom, minha professora de biologia me disse no fundamental que a velocidade que um objeto comum precisa ter para perfurar o tecido humano é por volta de $300\text{ km/h}$.  A velocidade UMA gota de chuva que achamos é mais de 4 vezes superior, imagine uma chuva INTEIRA! Que chuva gostosa seria...

    Sabemos que não é isso que ocorre na realidade, né? As gotinhas de chuva caem vem levinhas em nosso corpo. Então, como achar a resposta certa para esse problema?

Aparato matemático

    Antes de prosseguir, ainda precisaremos de um aparato matemático para continuar nossa análise. Não pretendo tratar com rigidez toda a "matemática" deste evento pois precisa-se de uma matemática mais robusta. Então, para isso, deixaremos de trabalhar com "igual a" e passaremos a trabalhar com "proporcional a".

    Esse termo você já deve ter visto nas aulas de matemática ou até mesmo de física. Ele associa duas ou mais variáveis a uma "proporção" e o representaremos pela letra grega alfa $\alpha$. Quando uma aumenta, a outras também aumentam (diretamente proporcional) ou diminuem (inversamente proporcional), e vice versa.

    $a\,\alpha\,b$ e $a\,\alpha\,\frac{1}{b}$ leem-se respectivamente "$a$ é diretamente proporcional à b" e "$a$ é inversamente proporcional à b". Ou seja, no primeiro caso, quando $a$ aumenta, $b$ também aumenta; de mesmo modo, quando $b$ aumenta, $a$ aumenta. No segundo caso, quando $a$ aumenta, $b$ diminui e quando $a$ diminui, $b$ aumenta; de mesmo modo, quando $b$ aumenta, $a$ diminui e quando $b$ diminui, $a$ aumenta.

    Releia esse parágrafo se precisar. Mesmo que essa discussão seja de extrema importância, ela ainda não diz o quanto uma grandeza aumentou ou diminuiu. Conferiremos a seguir.

    Vamos dar um exemplo. Imagine você brincando com um elástico, esticando e comprimindo. Já percebeu que quanto mais força você impõe sobre o elástico, mais ele estica? (lembrando que não estou trabalhando com o conceito rigoroso de "Força", apenas no senso comum). Vamos representar a "quantidade dessa 'Força'" pela letra $F$, e o "quanto o elástico se esticou" do seu estado normal por $x$. Veja que acima há uma proporcionalidade direta! Quando mais "força" você imprime, mais o elástico estica!

$$F\,\alpha\,x$$

    Mas ainda não sabemos o quão o elástico aumenta a medida que a "força" aumenta. Pode aumentar duas vezes, três vezes ou qualquer outro valor escalar, constante, o valor dessa "força". Não sabemos, mas podemos achar! Podemos tirar o nosso símbolo de proporcionalidade e voltarmos a nossa igualdade, adicionando uma constante $k$. Essa constante é simplesmente o valor de proporção, o quanto algo aumentou sobre outro algo:

$$F=kx$$

    Chamamos a constante de $k$ simplesmente por conveniência, pode ser qualquer variável desde que represente o evento físico que estamos estudando. Em outros eventos, a representação assume outras letras, gregas, latinas, ou até mesmo símbolos estranhos ($G$, $c$, $h$, etc.).

    Ao mesmo tempo, se $a$ é proporcional à $b$ e também à $c$, elas também são proporcionais entre si:

$a\,\alpha\,b$

$a\,\alpha\,c$

$$a\,\alpha\,bc$$

isso vale para as proporcionalidades inversas, como por exemplo:

$a\,\alpha\,l$

$a\,\alpha\,\frac{1}{m}$

$a\,\alpha\,l*\frac{1}{m}$

$$a\,\alpha\,\frac{l}{m}$$

(tente ler por extenso, facilita a compreensão)

    Quando temos uma constante de proporcionalidade que representa não só um ente matemático, mas um evento, um fenômeno material, ela é chamada de constante física. Conseguimos calcular essa constante por meio de experimentos sem muitas complicações. Você conhece outras? 

Adendo: A função acima parece com a função da "força elástica" de Newton. Mas lembre, apesar de parecida e usarmos os mesmos símbolos, nossa definição de "força" é diferente! Nossa ontologia do evento é diferente, então, ali não é a "mesma fórmula", e sim, uma relação que criamos entre o nosso conceito de "força" e o deslocamento do elástico. Isso é importante pois na discussão sobre velocidade terminal faremos uma análise parecida. Para realmente saber a melhor aproximação da natureza da natureza, mais estudos e definições mais precisos devem ser analisados. Aqui, e em todos os textos do blog, é apenas um texto para instigar você leitor a pesquisar mais sobre o assunto.

Com essa notação matemática em mente, podemos prosseguir com nossa discussão!

Análise Intuitiva

    Para acharmos a velocidade da gotinha nós precisaremos de uma linguagem matemática um pouco avançada, algo que não há - na maioria dos casos - no ensino médio. Então, nesse texto, trataremos apenas de uma visão "intuitiva", de "senso comum", para estudarmos esse evento. Não é o objetivo aqui tratar com "rigor" o fenômeno, e, tampouco, entraremos nos detalhes da "dinâmica newtoniana". Aos leitores da área do ensino superior, qualquer livro de mecânica clássica faz a discussão com a matemática que deseja.

    Existem eventos que observamos no dia a dia que podemos analisar esse fenômeno. Em filmes, um paraquedista parece que "não aumenta" sua velocidade a medida que cai, antes mesmo de abrir o paraquedas. Ao mesmo tempo em que, (contrariando o que foi dito nos primeiros parágrafos), uma bola de papel e o mesmo tipo de papel, mas agora aberto, ao serem jogados de uma mesma altura, caem com velocidades e tempos diferentes. "Ah! Mas a fórmula dizia que...", pois é, meu caro, a "fórmula" é um modelo para descrever um problema, e falhou!. Ali, era para casos específicos, uma situação ideal, esse evento que estamos estudando tem o maior pesadelo dos elaboradores de questões de física para o ensino médio: a resistência do ar. Precisamos de um novo modelo.

Força de resistência do ar

    Voltando ao paraquedista, isso acontece pois o ar imprime uma resistência ao movimento. Essa resistência com o passar do tempo, aumenta até o ponto de se igualar com a força peso (a força que puxa o paraquedista ao centro da terra), que faz com que a aceleração no paraquedista se anule; que cairá em movimento uniforme, com uma velocidade. Essa velocidade em específico, a "máxima atingida", é chamada de velocidade terminal.

Vamos devagar.

$$F_\text{res}\,\alpha\,v$$

    A resistência do ar é proporcional à velocidade e se opõe ao sentido do movimento, afinal, ela é uma "resistência ao movimento". Quando o paraquedista cai, ele sai do repouso e, sob a aceleração da gravidade, ele aumenta sua velocidade. Ao mesmo tempo em que ele aumenta de velocidade, essa força de resistência do ar também aumenta, e, contrária a força peso. Com o passar do tempo, a velocidade atinge um valor que faz com que a resistência do ar se iguale em quantidade à força peso. Mas como elas possuem sentidos contrários, elas se anulam no paraquedista, como se ele não estivesse sob uma aceleração. Ele não acelera, não aumenta sua velocidade; cai em movimento uniforme, com uma velocidade terminal constante durante todo o movimento.

    E é por isso que a gotinha de chuva não cai com velocidade maior que um tiro de pistola na nossa cabeça! Ela atinge uma velocidade terminal, cai em movimento uniforme, até atingir o chão. A explicação sobre porque nossa solução está errada é essa. Mas... Você ficou curioso sobre a grandeza dessa velocidade terminal? Quer realmente solucionar o problema? Se não, acho que até aqui consegui "lhe dar uma intuição" sobre o evento. Vamos prosseguir a discussão logo a seguir.

Outro adento: A aceleração da gravidade ainda existe, afinal de contas, o planeta Terra não desapareceu. É a força RESULTANTE no paraquedista que se anula, sua aceleração do movimento. 

$F_\text{resultante}=m*a=0=F_\text{peso}-F_\text{res}$

____

    O ar é um aglomerado de moléculas de nitrogênio, gás carbônico, oxigênio, e várias outras, que "preenchem" a atmosfera - tal qual a água preenchendo um determinado volume - e, assim, podemos considerar o ar como um fluido. 

    Vamos parar um pouco agora para analisar as implicações de um "fluido" no movimento com uma simples observação. Caminhe! (ou ande com sua cadeira de rodas ou instrumento de locomoção). Ora, você está inserido em um fluido, o ar, como dissemos acima. Agora, lembre de uma vez em que você tomou banho em um riacho, mar, açude, enfim. Parece que se locomover na água em mais difícil né?

    O que você analisar dessa experiência? Por que a água parece apresentar mais "resistência ao movimento" que o ar?

    Acho que um caminho para isso pode levar em como é formado esses fluidos. Ao enchermos pela metade um copo com água, por exemplo, o copo que antes estava "cheio" de ar, agora a água ocupará a parte mais funda do reservatório, e o ar a parte mais acima. Isso se explica pois a densidade ($\rho$) da água é maior do que a do ar (pense na água e óleo como referência). Então, vocês concordam comigo quando eu digo que quanto maior a densidade do fluido, maior a resistência ao movimento, ou seja, menor a velocidade terminal. Essa nova velocidade e a densidade são inversamente proporcionais.

$$v\,\alpha\,\frac{1}{\rho}$$

vamos continuar a discutir esse evento dessa nossa nova velocidade terminal.

    Podemos observar outro fator que influencia nessa velocidade. Voltemos na discussão do caso do paraquedista acima. Vimos que a força peso desempenha um papel importante no movimento. Quanto maior a massa do corpo em queda, maior a força peso, e, consequentemente, maior deve ser a força de resistência do ar (e sabemos que a resistência do ar é proporcional à velocidade, pela discussão anterior). Então: a força peso é diretamente proporcional à velocidade terminal. 

$v\,\alpha\,F_\text{res}\,\alpha\,F_p$

$F_p = mg$

$$v\,\alpha\,mg$$

Então, atualmente nos encontramos já com duas proporções para $v$, a densidade e a força peso:

$$v\,\alpha\,\frac{mg}{\rho}$$

    Há mais características que influenciam na velocidade terminal? Lembram de quando falei lá em cima sobre como a folha de papel amassada e a folha aberta cai com velocidades e tempos diferentes? Pensemos um pouco sobre a característica dessas folhas...

    Será se a forma do objetivo influencia? Bom, a experiência da folha demonstrou isso! Uma folha aberta tem mais "área" em contato com o ar que uma folha amassada.

    Pense, por exemplo, que ao nadar completamente embaixo d'agua, de "peixinho", exige menos "força" que você se movendo em pé (ou de frente). Isso por que a área de seu corpo ao se mover nessa direção é menor. O mesmo acontece no ar! Pegue uma carona em um veículo e bote sua mão para fora. Primeiro, ponha-a na horizontal (deitada), com a ponta dos seus dedos apontando para a direção do movimento; a área em contato com o ar, nesse sentido e direção, será apenas a pontinha de seus dedos, note a "resistência". Depois, abra a mão, e a ponha na vertical; a área em contato com o fluido, nessa direção e sentido, será toda sua palma; note a nova resistência.

   A resistência ao movimento será maior nos casos em que o corpo possuir maior área de secção transversal $A$ (simplesmente a "face" do objeto em movimento que está em contato, "batendo", contra o fluido), como no caso da folha aberta (maior $A$), sua velocidade ao atingir o solo será menor que a da folha amassada (menor $A$).

    Em síntese, quanto maior a área transversal, menor será a velocidade terminal. São inversamente proporcionais:

$$v\,\alpha\,\frac{1}{A}$$

    Temos que a seção transversal influencia na velocidade. Mas tem outra característica quando a forma do objeto: a sua aerodinâmica. Você já deve ter visto esse termo em algum lugar. A aerodinâmica está relacionada com um fator de diminuição da resistência ao movimento, para assim, aumentar sua velocidade. Os carros de Fórmula 1 são o exemplo que mais me vem a mente. Eles possuem aquele formato estranho, alongado, pois assim eles eliminam uma grande parte do contato com as moléculas do ar, diminuindo a força de resistência do ar. O mesmo ocorre para submarinos na água e seu formato alongado. Cada formato está associado a um coeficiente de arrasto $C$. Quanto maior esse coeficiente, menor será sua aerodinâmica, e, como consequência, maior será a resistência do meio. Em síntese, quanto maior o coeficiente de arrasto, menor será a velocidade terminal. São inversamente proporcionais:

$$v\,\alpha\,\frac{1}{C}$$

Juntando todas as análises que temos até agora:

$v\,\alpha\,\frac{mg}{\rho}$

$v\,\alpha\,\frac{1}{A}$

$v\,\alpha\,\frac{1}{C}$

então:

$$v\,\alpha\,\frac{mg}{\rho AC}$$

Temos então a nossa proporção sobre a velocidade terminal! Óbvio que fizemos isso por pura e simples análise intuitiva. Ao conduzir experimentos no laboratório, conseguimos determinar as constantes físicas e chegamos que a velocidade terminal é:

$$v=\sqrt\frac{2mg}{\rho AC}$$

e com isso, conseguimos calcular a velocidade terminal da nossa gotinha. 

Mais um adendo: Essa raiz quadrada aparece por questões de discussão sobre a proporção da velocidade com a força de resistência. Dissemos acima que a força de resistência do ar é proporcional a velocidade; mas alguns livros já colocam que a força é proporcional "o quadrado" da velocidade ($F_\text{res}\,\alpha\,v^2$) - assim como a força gravitacional, que varia inversamente com o quadrado da distância dos astros ($F\,\alpha\,\frac{1}{r^2}$). Mas o que considero importante, nessa discussão textual, é saber se elas são diretamente ou inversamente proporcionais. Deixo as questões sobre o "quão" proporcional são as grandezas pelos experimentos, os juízes do nosso modelo.

Podemos considerá-la como uma bolinha, uma esfera de raio $1\,mm$ ($r=10^{-3}\,m$), onde $A$, a área superficial que entra em contato com o fluido, seria metade da área dessa esfera ($A = 2\pi r^2$); e uma rápida procura nos mostra que $C$, o coeficiente de arrasto, de uma esfera é aproximadamente ($C=0,47$). A densidade do ar é fácil de se encontrar online em 20ºC ($\rho_\text{ar}=1,2\,kg/m^3$). A massa da gota também conseguimos determinar por aproximação - usando a densidade da água ($\rho_\text{água}=997\,kg/m^3$) multiplicado pelo volume de uma esfera ($V=\frac{4}{3}\pi r^3$) - e assim temos todas as informações para resolver o problema. Você consegue dar a resposta? Sinta-se livre para usar a aba de comentários.

    Por acaso você já se perguntou sobre o costume de "atirar" para cima, com a intenção de chamar atenção para algo ou amedrontar, se a bala, ao voltar, pode ainda matar alguém?